a: Tọa độ A là:

4x-3y-12=0 và 4x+3y-13=0

=>A(25/8;1/6)

Tọa độ B là:

x=0 và 4x-3y-12=0

=>x=0 và y=-4

Tọa độ C là:

x=0 và 4x+3y-13=0

=>y=13/3

b: A(25/8;1/6); B(0;-4); C(0;13/3)

\(AB=\sqrt{\left(0-\dfrac{25}{8}\right)^2+\left(-4-\dfrac{1}{6}\right)^2}=\dfrac{125}{24}\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{\left(0-\dfrac{25}{8}\right)^2+\left(\dfrac{13}{3}-\dfrac{1}{6}\right)^2}=\dfrac{125}{24}\left(cm\right)\)

\(BC=\sqrt{0^2+\left(\dfrac{13}{3}+4\right)^2}=\dfrac{25}{3}\)

\(P=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{125}{24}+\dfrac{125}{24}+\dfrac{25}{3}\right)=\dfrac{75}{8}\)

\(cosA=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\dfrac{-7}{25}\)

=>sin A=24/25

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{24}{25}\cdot\dfrac{125}{24}\cdot\dfrac{125}{24}=\dfrac{625}{48}\)

=>r=625/48:75/8=25/18

1. \(\overrightarrow{AH}\left(\frac{96}{37};\frac{16}{37}\right)\). AB và CD cùng vuông góc với AH => AB,CD có VTPT cùng phương với vt AH

Đường thẳng AB: đi qua A(1;-2), VTPT (6;1) => \(AB:6\left(x-1\right)+\left(y+2\right)=0\Leftrightarrow6x+y-4=0\)

Đường thẳng CD: đi qua H(133/37;-58/37), VTPT (6;1)

=>  \(CD:6\left(x-\frac{133}{37}\right)+\left(y+\frac{58}{37}\right)=0\Leftrightarrow6x+y-20=0\)

2. Xét hệ \(\hept{\begin{cases}2x+y=4\\6x+y=4\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=4\end{cases}\Rightarrow}B\left(0;4\right)}\)

\(\hept{\begin{cases}2x+y=4\\6x+y=20\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=-4\end{cases}\Rightarrow}D\left(4;-4\right)}\)

BD và AC có trung điểm là \(I\left(2;0\right)\), suy ra \(C\left(3;2\right)\).

3. Ta có: \(MA^2+MC^2=2MI^2+\frac{AC^2}{2};MB^2+MD^2=2MI^2+\frac{BD^2}{2}\)

\(\Rightarrow MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=4MI^2+\frac{AC^2+BD^2}{2}\ge\frac{AC^2+BD^2}{2}\)(không đổi)

Vậy biểu thức đạt Min khi M trùng với I(3;2).

1. →AH(9637 ;1637 ). AB và CD cùng vuông góc với AH => AB,CD có VTPT cùng phương với vt AH

Đường thẳng AB: đi qua A(1;-2), VTPT (6;1) => AB:6(x−1)+(y+2)=0⇔6x+y−4=0

Đường thẳng CD: đi qua H(133/37;-58/37), VTPT (6;1)

=>  CD:6(x−13337 )+(y+5837 )=0⇔6x+y−20=0

2. Xét hệ {

⇔{

⇒B(0;4)

{

⇔{

⇒D(4;−4)

BD và AC có trung điểm là I(2;0), suy ra C(3;2).

3. Ta có: MA2+MC2=2MI2+AC22 ;MB2+MD2=2MI2+BD22 

⇒MA2+MB2+MC2+MD2=4MI2+AC2+BD22 ≥AC2+BD22 (không đổi)

Vậy biểu thức đạt Min khi M trùng với I(3;2).

a) \(\cos A=-\dfrac{3}{5}\Rightarrow\widehat{A}\approx126^052'\)

b) \(AB:2x+y-1=0;AC=2x-y-3=0\)

c) Phân giác trong \(AD\) có phương trình : \(y+1=0\)

a) (E) có tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\) nên \(c = \sqrt 3\).

Phương trình chính tăc của (E) có dạng

\({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\)

Ta có: \(M\left( {1;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right) \in (E)\)

\(\Rightarrow {1 \over {{a^2}}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1\ (1)\)

Và \({a^2} = {b^2} + {c^2} = {b^2} + 3\)

Thay vào (1) ta được :

\(\eqalign{ & {1 \over {{b^2} + 3}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1 \cr & \Leftrightarrow 4{b^2} + 3{b^2} + 9 = 4{b^2}(b + 3) \cr}\)

\(\Leftrightarrow 4{b^4} + 5{b^2} - 9 = 0 \Leftrightarrow {b^2} = 1\)

Suy ra \({a^2} = 4\)

Ta có a = 2 ; b = 1.

Vậy (E) có bốn đỉnh là : (-2 ; 0), (2 ; 0)

(0 ; -1) và (0 ; 1).

b) Phương trình chính tắc của (E) là :

\({{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\)

c) (E) có tiêu điểm thứ hai là điểm \(\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\). Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm\(\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\) và vuông góc với Ox có phương trình \(x = \sqrt 3\).

Phương trình tung độ giao điểm của \(\Delta\) và \((E)\) là :

\({3 \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = \pm {1 \over 2}\)

Suy ra tọa độ của C và D là :

\(C\left( {\sqrt 3 ; - {1 \over 2}} \right)\) và \(\left( {\sqrt 3 ;{1 \over 2}} \right)\)

Vậy CD = 1.